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欧拉公式De推导（欧拉Gōng式推导
用拓Pǔ学方法证明欧拉Gōng式尝欧拉公Shì：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体，假设F，E和V分Biè表示面，棱（或边，角（或顶的个数，那么F-E+V=。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面棱顶点数的欧拉公式。证明如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的：（把多面体（图中①看成表面是薄橡皮的中空立体。（去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平Miàn图形的（简单多边形边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=。（Duì于这个平面图形，进行三角形分割，也就Shì说，对于还不是三角形的多边Xíng陆续引进对角线，一直到成为一些三角Xíng为止，像图中③的样子。每引进一条Duì角线，F′和E′各增加，而V′却不变，所以F′-E′+V′Bù变。因Cǐ当完全分割成三角Xíng的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有Xiē三角形有一边或两边Zài平面图形的边界上。（如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三Jué形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去而V′不变，所以F′-E′+V′也Mò有变。（如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，Qù掉这个三角形的不属于其Tā三角形的边，即DF和EF，Zhè样就去掉△DEF。这样F′减去，E′减去，V′减去，因此F′-E′+V′仍没有变。（这样继续进行，直到只剩下Yī个三角形为止，像图Zhōng⑥的Yàng子。这时F′=，E′=，V′=，因此F′-E′+V′=-+=。（因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后Tú形还是连在Yī起的，所以Zuì后Bù会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。（如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去Diào其中的一个三角形，也就是去掉个三角形，个Biān和个顶点。因此F′-E′+V′Réng然没有变。即F′-E′+V′=成立，于是欧拉公式：F-E+V=得证。
级数展开即可证明将函数y=e^xy=sinxy=cosx用幂级数展开,有e^x=exp(x)＝＋x/！＋x^/！＋x^/！＋x^/！＋…＋x^n/n！＋…《》sinx=x-x^/!+
x^/!-x^/!+……+(-)^(k-)*x^(k-)/(k-)!+……《》cosx=-x^/!+x^/!-x^/!+……+(-)^k*x^(k)/(k)!+……《》将《》式中Dex换为ix,得到《》式；将i*《》+《》式得到《》式。比较《》《》两式，知《》与《》恒等。于是我们导出了e^ix=cosx+isinx，将公Shì里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减De方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/.tanx=此时三角函数定义域已推广至整个复数集2025年1月三星i8262(a6288)。P.S.幂级数c+cx+cx^+...+x^n+...=∑x^n(n=..∞)c+c(x-a)+c(x-a)^+...+(x-a)^n+...=∑(x-a)^n(n=..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c,c,c,......及a都是常数,这种级数称为幂级数.Tài勒展开式(幂级数展开法):f(x)=f(a)+f’(a)/!*(x-a)+f’’(a)/!*(x-a)^+...f(n)(a)/n!*(x-a)^n+...实用幂级数：ex=+x+x^/!+x^/!+...+x^n/n!+...ln(+x)=x-x^/+x^/-...(-)k-*x^k/k+...(|x|《)sinx=x-x^/!+x^/!-...(-)k-*x^(k-)/(k-)!+...(-∞《x《∞)cosx=-x^/!+x^/!-...(-)k*x^(k)/(k)!+...(-∞《x《∞)arcsinx=x+/*x^/+*/(*)*x^/+...(|x|《)arosx=π-(x+/*x^/+*/(*)*x^/+...)(|x|《)arctanx=x-x^/+x^/-...(x≤)sinhx=x+x^/!+x^/!+...(-)k-*x^(k-)/(k-)!+...(-∞《x《∞)coshx=+x^/!+x^/!+...(-)k*x^(k)/(k)!+...(-∞《x《∞)arcsinhx=x-/*x^/+*/(*)*x^/-...(|x|《)arctanhx=x+x^/+x^/+...(|x|《)
欧拉公式不是Tuī导出来的，欧拉公式就是一个定义式！如下：在复变函数中，设zShì一个作为宗量（也就是自变量的复数，则z=x+iy。则定义w=f(z)=e^z=e^(x+iy)=(e^x)(e^iy)=(e^x)(cosy+isiny)。请注意上式的几个等号的含义：第二个等号定义了有e^z这种形式De复变函数（具体是什么对应法则不清楚，只是告诉你有这么样的一个函数；第三个等号不是新的定义，是等价替换；第四个等号是一个新的定义，定义了这个函数满足一个新的运算法Zé（指数之和可以拆分成两项之积，类似于实数；第五个等号定义了欧拉公Shì，告诉你e^iy具Tǐ的对应法则！（这里可能有点不好理解，因为e^z是一个复变函数，那么e^z肯定是YīGè复数，那么它肯定也能用X+iY这样的形式表达出来，第五个等号就是给出了函数的对应法则！所以严格来说欧拉公ShìBù是推导出来的，只是一Gè定义式！只不过当时Mò有直接定义，而是根据类比实数得出来的，然后才有了严格的定义。网上有好多人问欧拉公式怎么证明，其实这显示出了他们逻辑的混乱，没有正确区分类比演义，Dìng义，定理，证明四者的关系。刚开始并没有欧拉公式这个严格的定义，最初的欧拉公式是人们通过类比实数得出的演绎结果罢了，然后才有了欧拉公式严格的定义。
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